문과생을 위한 딥러닝 수학 - 기본편 (1) 1차함수, 2차함수

미적분을 하기 위해서는 그 기본인 함수를 알아야 하며 함수는 우리가 프로그래밍에서 입력과 출력 사이에 무언가를 해주는 기능(function)으로 봐도 무방하며 이를 수식으로서 수학에서는 표현한다. 좌표평면 상에서 기하학적인 관점에서 함수를 보도록 해야 하며 일차함수는 우리가 회귀분석에서 사용하는 회귀식, 퍼셉트론에서 다루었던 선형분류식이 결국은 오늘 다룬 1차함수에서 출발한다는 것을 알아야 한다.

 

물론 그 이후에 문제를 해결하는 과정에서 함수가 사용되기도 하고, 데이터의 분포를 계산할 때도 사용된다. 함수는 기계학습 분야에서 가장 중요하며 지금은 고등학교 수학차원이지만 결국 다시 여기로 돌아와야 미적분에 접근할 수 있으며 모든 문제를 해결할 수 있는 힘을 줄 것이다.

 

본 시리즈의 목표는 미적분과, 선형대수라는 기계학습 분야에서 토대가 되는 것들을 하기 위해 저자의 교육과정에서 다루지 않아 접해보지 못한 부분의 수학을 엉금엉금 기어가고 있다.  본 편인 2차함수까지는 아는 내용이지만 그 이후의 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등에 가도 차근차근 잘 풀어나가보려고 한다.

 

문과생을 위한 딥러닝 수학 - 기본편 (1)

1차함수, 2차함수

 

1. 함수의 정의

공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여

X의 각 원소에 Y의 원소가 하나씩 대응하는 관계

 

1) 정의역, 공역, 치역

f : X -> Y

X라는 집합 안에 x는 어떤 과정을 통해 결과를 가지며 f(x) 이를 치역이라고 하며 공역은 결과를 받기 위해 준비된 모든 값에 대한 집합

 

y = f(x)

 

2) 단사함수 : 일대일 함수

3) 전사함수 : 치역과 공역이 같은 함수

5) 전단사함수 : 일대일 대응함수

6) 항등함수 : I : X -> X, I(x) = x

7) 상수함수 : f : X -> Y, f(x) = C

8) 합성함수 : 두 개의 함수를 더하는 함수

f: X -> Y ,    g: Y -> Z

합성을 시키면

(g f)(x) = g(f(x))

 

합성함수는 한쪽 방향으로만 흘러간다

f(g(x)) != g(f(x))

 

미분으로 가면 합성함수의 미분법도 배우게 되니 합성함수의 기본적인 원리는 알아야 함

 

9) 역함수

역함수가 성립하기 위해서는 전단사함수(치역과 공역이 같고 하나씩 대응되는 일대일 대응 함수)여야 함

전단사함수는 (단순히) 증가하거나 감소하는 함수임

이차 함수는 하나의 y 값에 2개의 x 값이 대응되므로 전단사함수가 아님

 

역함수가 가지고 있는 기하학적 의미는 x축과 y축이 있을 때 이 함수의 역함수를 찾겠다는 것은 y = x 라는 선에 대칭하는 함수를 찾겠다는 것과 같다.

 

 

 

2. 일차함수

 

y = ax + b (a!=0)

 

- 기울기 : a  (y값의 증가량/x값의 증가량) = tanΘ

- y절편 : 곡선과 y축이 만나는 점.  x=0일 때 값

- x절편 : 곡선과 x축이 만나는 점. y=0일 때 값

- x절편이 a이고, y절편이 b인 직선의 방정식 x/a + y/b = 1

- 기울기가 m이고, 한 점(a,b)를 지나는 직선 y=m(x-a)+b

 

기울기가 클수록 y축으로 경사가 급해지고, 작을수록 x축으로 경사가 급해짐

 

2x -2 = 0 이라는 건 y=2x-2와 y=0이라는 두 직선의 교점이라는 것을 알 수 있으며 그 해가 x절편인 것임

 

기울기가 같고 y절편이 다른 두 직선은 평행임

 

y= m1x + b1 과 y = m2x + b2가 평행이라면

 - m1=m2

 - b1!=b2

 - 수직관계는 m1*m2 = -1

 

 

연립일차 방정식

두 일차함수 y = ax + b, y = cx+d 의 교점의 좌표가 연립방정식의 해와 같다

 

 

두 직선의 교점은 연립일차 방정식의 해를 구하는 것과 똑같기 때문에 해당 좌표를 구하는 것은 ax + b = cx + d로 x와 그 y 값을 구하는 것과 같음. 이 방법은 대입법

 

 

3. 이차함수

y = ax제곱 (a>0)

위 그래프의 x를 p, y를 q만큼 평행이동 => y = a(x-p)제곱 + p

x축으로 대칭하면 y = -ax제곱

이차함수 x의 근은 y = 0과 만나는 교점에 해당하므로 이차방정식 = 0의 해를 구하는 것과 같음

2) 이차함수의 식 구하기

a. 꼭지점 (p, q)을 알 때

  y = a(x-p)제곱 + q

b. 포물선 위의 세 점을 알 때

  y = ax제곱 + bx + c  (x0, y0)  (x1, y1)  (x2, y2)

c. x절편 α, β를 알 때

  y = a(x-α)(x-β)

d. x=p에서 x축과 접할 때

  y = a(x-p)제곱

3) 이차부등식의 해

f(x) = ax제곱 + bx + c = 0 (a>0)의 서로 다른 두 실근  α, β를 가질 때 

4) 이차부등식 성립 조건

모든 실수 x에 대하여 이차부등식이 성립하려면

 b제곱 -4ac <=0 이어야 함(판별식 D <= 0)

이차함수 이상의 3차함수 n차함수가 된다면

미분을 하기 위해서 다항함수 뿐만 아니라 어떠한 식이 오더라도 그래프를 그리고 싶을 때 개략적인 개형을 파악할 필요가 있음

다항함수의 그래프 참고