문과생을 위한 딥러닝 수학 - 기본편 (2) 지수함수, 로그함수

딥러닝 신경망 학습에서 시그모이드 함수(Sigmoid Function)를 활성화함수로 사용한다. 시그모이드 함수는 1/1+exp(-x) 로 나타나는데 여기서 exp(-x) exponential function으로 자연상수e(약2.71)에 대한 지수함수를 의미한다. exp(-2)일 경우 약 2.71의 제곱.. 시그모이드 함수의 사용 이유는 비선형적으로 출력값을 매끄럽게 하기 위한 것이며 자세한 내용은 지난 포스팅을 참고하면 된다.

왜 밑을 e인 자연로그함수를 사용하는가 하냐면 큰 수의 복잡한 계산을 할 때 계산을 단수화하기 위해서 사용된다. 특히 자연로그를 사용했을 때 미적분의 계산이 간편하다고 한다. 기울기를 계산하거나 오차역전파에 대한 계산을 할 때 미분을 사용한다.

자연로그(ln)의 역함수는 지수함수인 exp(x)이다.

문과생을 위한 딥러닝 수학 - 기본편 (2)

지수함수, 로그함수

 

3. 지수함수

1) 거듭제곱근 정의

실수 a와 2이상의 자연수  n에 대하여 n제곱하여 a가 되는 수를 말한다. 즉, 방정식 x제곱 = a를 만족시키는 수 x를 a의 n제곱근이라고 한다.

a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, ...을 통틀어 a의 거듭제곱근이라 한다.

보통 말하는 루트a 를 말함.

2) x의 n제곱 = a 일 때의 거듭제곱근

  - a>0 : n루트a, n루트a, -n루트a

  - a=0 : 0

  - a<0 : n루트a, 없음(제곱하여 음수가 나올 수 없음)

 

3) 거듭제곱근의 성질

출처: WINNER 수학

4) 지수법칙

대학미적분을 배우기 위해서 지수법칙을 하는 것이지만 지수법칙의 기본적인 공식은 숙지할 필요가 있음

출처: WINNER 교육전략

5) 지수함수

1이 아닌 양수 a일 때 임의의 실수 x에 대하여 a의 x제곱의 갑승ㄴ 단 하나로 정해지므로 y = a의x제곱

a가 1이면 어떤 실수 x를 대입해도 y 값이 1이 나옴

6) 지수함수 그래프

출처: WINNER 교육전략

a>1 , x값이 증가할 때 y도 증가

0<a<1, x값이 증가할 때 y는 감소

x 축은 점근선(점에 가까워지는 선)이다 y=0에 가까워짐

그리고 항상 (0,1)을 지남

 

지수함수의 문제를 풀다보면 어느새 방정식, 부등식, 그래프 등에 대해서 풀고 있음.....

미분도 비슷하게 하다보면 방정식, 부등식, 그래프 등을 만지고 있을 듯 하다

지수함수의 x값을 f(x)로 본다면 먼저 f(x)를 풀이하고 지수함수로 돌아와서 다시 풀고 (Example 6 참조)

  

7) 지수함수 방정식과 부등식

지수함수의 방정식과 부등식은 a의 x제곱 부분이 f(x)로 다항식의 형태일 수 있으며 이 다항식을 먼저 풀이한 후에 다시 지수함수로 돌아와서 계산하는 방식으로 풀이를 하게된다.

4. 로그함수

로그를 왜 취할까?  a의 x제곱이 N이라고 했을 때 x라는 값을 보고싶을 때 이를 표현하기 위해서 로그를 취한다.

logaN a는 밑, N은 진수

급격하게 값이 상승하는 변수에 대해서 log를 취해 선형적으로 만들엇던 것들을 생각해보면 지수함수 처럼 급격하게 값이 상승하여 그 변화를 제대로 파악하기 힘들 때 x를 다르게 표현하여 보고싶어 log를  취한다고 볼 수 있다.

1) 로그의 성질

대학미적분학에서는 로그함수에 대한 그래프, 로그함수의 평행이동과 대칭이동이 중요

2) 로그의 밑변환 공식

자연로그 e (= 2.718...)를 많이 사용함.

      logeX = lnX

자연로그는 지수함수와 로그함수의 미적분에 사용된다고 한다. 수학적으로 왜 사용하는지는 잘모르기 때문에 여기서는 생략하겠다.

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3) 상용로그의 지표와 가수

임의의 양수 N에 대하여 logN = n + a  (n: 지표, a: 가수)

4) 로그함수 정의

양의 실수 x에 대하여 logaX를 대응시키는 함수

지수함수 y = aX제곱를 y = x에 대하여 대칭인 함수. 지수함수의 역함수

5) 로그함수 y = logaX의 그래프

6) y = logaX 의 평행이동, 대칭이동

a. x축으로 m, y축으로 n 만큼 평행이동 =>   y = loga(X-m) + n

b. x축 대칭이동 =>   y = -logaX

c. y축 대칭이동 =>   y = loga(-X)

d. 원점에 대칭이동 =>    y = -loga(-X)

7) 로그방정식

logx2, log2X와 같이 로그의 밑 또는 진수에 미지수가 들어있는 방정식을 로그방정식이라고 한다.